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ぼくらの35ラウンド戦争 ~ヨシのカルドセプトに関する雑記~

2008-12-10

「踏む確率」についての考察

| 22:30

 うーんうーん、バジリスクが仕事しないよう……。サラマンダーが俺をいじめるよう……。ぎゃー! レベル5踏みは嫌だー! うわあああああああああああああああ!


 ……ハッ! ゆ、夢か……。


 こんばんは、DACさんに18ラウンドTKOを喰らって以来寝つきが悪いヨシです。いやー、コテンパンにされてしまいました。試合内容はDACさんの日記に詳しいのでそちらを見ていただくとして、まったく自分のダイス運の悪さにはビックリ! まさか1つしかないレベル5を踏みつけてしまうとは……。ダイスの野郎もマジありえないね。空気読まなさすぎ。伊達に10年間カルドに出演している訳じゃないんだからさ……。


「うわー、まだ18ラウンドなのにジャンクション横にレベル5だよ……。DAC好調すぎ。ここでヨシが踏むサドンデスで終了だからなー、それは試合の盛り上がりに欠けるだろ……。よっしゃ! ココはヨシにダイス目7をプレゼントして回避させてやるとするかな! やっべー、マジで俺粋な計らいしてんな!」


 これぐらいの配慮はして欲しかったね、まったく。


 しかし、高額領地踏む確率ってどれ位なんだろう? これは本当にツイていないだけだったのか? 日頃から気になっていたので、この機会に「踏む確率」について考察してみました。ちなみにこの後の文章は確率計算のオンパレードです。面倒な方は一番最後の「まとめ」の項目だけご覧ください。


4マス先の領地踏む確率

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 先日の試合を例に取ってみます、上の地図をご覧ください。私は風属性4番にいて、右方向(反時計回り)に進んでいました。そして、DACさんは火属性6番のサラマンダーレベル5にしていました。私はあと4マス進めばDACさんの土地踏んでしまいます。JUNKTIONのダイスは1~7までで、私は不運にもヘイストリコールなどの移動系スペルは使い切ってしまっているものとします。このとき、私がDACさんの領地踏んでしまう確率はどれ位でしょう? 『4』を出せば踏んでしまうから、7分の1? いやいや、『2』を2回出しても、『1』を4回出しても踏んでしまいます。4マス先の領地踏んでしまうダイス目の組み合わせを挙げてみます。


4マス先の領地踏むダイス目の組み合わせ
  1. 『4』を1回
  2. 『3』を1回,『1』を1回
  3. 『2』を1回,『1』を2回
  4. 『2』を2回
  5. 『1』を4回


 これらの組み合わせのダイス目が出ると、4マス先の領地踏んでしまうことになります。aが起こる確率は単純に1/7(14.29%)ですから簡単です。cの組み合わせは(1,1,2)(1,2,1)(2,1,1)の3通りあります。計算方法は(1/7)^2×(1/7)×3=3/343(0.87%)です。高校の数学1でやったっけなあ、懐かしいですよねコレ。他の組み合わせも同じように計算してみました。



4マス先の土地踏むダイス目が出る確率
ダイス目の組み合わせ 出る確率
『4』を1回 14.29%
『3』を1回,『1』を1回 4.08%
『2』を1回,『1』を2回 0.87%
『2』を2回 2.04%
『1』を4回 0.04%
合計(4マス先の領地踏む確率) 21.32%


 計算の結果、今回の災難は21.32%の確率で起こりうる悲劇であったことがわかりました。8割のチャンスをモノにできなかったのか、ふがいない……。


高額領地踏む確率をどの程度見積もるべきか

 せっかくなので、4マス先だけではなくいろいろ求めてみることにしました。下のグラフは任意の土地までの距離と、その土地に止まる確率を表したものです。


任意の土地踏むダイス目が出る確率
土地までの距離 踏む確率
1マス 14.29%
2マス 16.33%
3マス 18.66%
4マス 21.32%
5マス 24.37%
6マス 27.85%
7マス 31.83%
8マス 22.09%
9マス 23.21%
10マス 24.19%

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 ただし、このデータは完全に1本道のマップを、ダイスは1~7で、スペルなしで移動した場合のものです。また、マップを1周してから踏む確率は考慮していません。


 もしかしたらリコールヘイストを引いて難を逃れることができるかもしれませんし、分岐を利用してうまく踏むのを避けることができるかもしれません。はたまた憎いあんちくしょうがオールドウィロウ配置しやがらないとも限りません。そういったことも踏まえ、ある程度誤差があるものとしてご覧ください。


 こうしてみると7マス先が31.83%と最も踏む確率が高いのがわかります。また7マス以上離れると、多少の誤差はあるもののだいたい25%くらいに落ち着きます。グラフや表には載せていませんが、100マス先の領地踏む確率を求めたところ24.92%でした。これらのことから『任意の土地から十分離れた土地にいる場合、その任意の土地踏む確率は約25%』と言えると思います。ダイス目の平均が4ですので、何となく納得できますね。プレイヤーが「あの土地踏みたくない!」といろいろ工夫すれば、もう少し踏む確率を抑えられるでしょう。任意の土地までの距離が7マス以下である場合は、表の数値から判断してください。


 それでは、この結果からどういったことに気をつけてマップ周回すればよいのか考えてみます。


12月11日19時00分追記

 ぷなちん(id:putchar)、M7@XLR(id:M7_XLR)両氏に計算結果に関してご指摘をいただきました。確認しましたところ、計算途中の四捨五入のタイミングによって誤差が生じてしまっていたようです。訂正させていただきます。訂正するにあたってM7@XLRさんの日記『次のマスに止まる確率を知っていますか』を参考にさせていただきました。お二方、ありがとうございました。 

プレイング考察1.高額領地を前にして

f:id:YOSHI-00:20081210223029g:image


 あなたは水属性土地からに向かう最中です。水属性6番の分岐地点で、ダイス目は『3』でした。つまり風属性2番に止まるか、火属性2番に止まるかを選べる状態です。そして隣の風属性6番にはレベル5のジーニーが陣取っており、にっちもさっちも落としようがない状態です。通行料は2300Gであるとしましょう。風属性6番以外の土地通行料は微々たるものとして無視するならば、あなたはどちらに進むべきでしょうか?


 答えは風領地2番に止まるべきです。4マス先のジーニーに止まる確率は21.32%、支払う通行料の期待値を求めてみます。通行料に止まる確率をかけて2300G×0.2132≒490Gですね。一方火属性2番だとジーニーまでの距離は6マスですので、止まる確率は27.85%です。期待値は2300G×0.2785≒641Gです。風属性2番に止まるほうが151Gも得な訳です。


 実際問題、プレイ中にそこまで計算はできないでしょう。私もまったく自信がありません。目安として高額領地の7マス、6マス手前に止まるのはリスクが高い』『高額領地までの距離を5マス以下に詰められる場合は詰めたほうが良い』と覚えておくのが実用的なところでしょうか。


プレイング考察2.移動スペルの保持

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 あなたはからに戻る途中です。隣の風属性6番には相も変わらずレベル5のジーニーが陣取っており困ったものです。通行料も先ほどと同じく2300Gです。今あなたは水属性5番に止まっており、進行方向は左(時計回り)です。5枚の手札はなかなかいい感じに揃っていてどれも捨てたくありません。ドローターンホーリーワードXドローし、これで手札が一杯になりました。手札を圧迫しないために、スペルターンホーリーワードXを即打ちすべきでしょうか? 何枚かカードを捨てることになろうとも、ホーリーワードXジーニー回避に保持するべきでしょうか?


 まずは即打ちした場合のことを考えてみます。即打ちするとジーニーには素ダイスで挑まなければなりません。『任意の土地から十分離れた土地にいる場合、その任意の土地踏む確率は25%』です。分岐で少しでも踏みにくいルートを選択するなどして、踏む確率が22%まで下がったとしましょう。その場合の通行料の期待値は2300G×0.22=506Gです。マップを1周するごとに、506Gをジーニーの所有者に支払うのと同程度のリスクを負うことになります。


 次に保持した場合のことを考えます。ホーリーワードXは10マスも進めますから、自分が好きなタイミングで使えるなら100%通行料の支払いを避けることができます。もちろん支払う通行料の期待値は2300G×0=0Gです。通行料だけ見ると保持したほうが506Gも得です。今回の例だと、だいたい3ターンくらい手札に保持することになると思いますが、1枚手札の枠を割くのに十分な利益ではないでしょうか。


 移動スペル高額領地回避に使うと、通行料の2割強の利益がある』と覚えておくとよいでしょう。


プレイング考察3.コース選択

f:id:YOSHI-00:20081210223029g:image


 4人戦、目標魔力7000Gの試合で、4人とも総魔力が6500G前後の大接戦。誰かが次の周回ボーナスを得れば、目標達成するでしょう。あなたは水属性5番を右方向(反時計回り)に進んでいます。しかし周りは高額領地がひしめき合っています。風属性5番はセプターA、風属性6番はセプターB、火属性5番はセプターC、火属性6番はあなたの領地で、4つともレベル5で通行料は2000Gです。皆自分の拠点クリーチャー配置しており、防御アイテムもばっちりです。この4つの領地は落とされることはないでしょう。他の3人はそれぞれに向かって歩き始めましたが、あなたはどう行動すべきでしょうか?


 正解はを無視してに向かう」です。この場合周回ボーナスを放棄したほうが断然お得です。計算してみましょう。


 まず止まっても落とせない土地が3つもあり、それらがすべて通行料2000Gです。『任意の土地から十分離れた土地にいる場合、その任意の土地踏む確率は25%』でしたね。すると支払う通行料の期待値は(2000G×0.25)+(2000G×0.25)+(2000G×0.25)=1500Gです。の周りを走ること自体が1500Gの損失なのですから、せいぜい500Gちょっとの周回ボーナスのメリットなんて吹き飛んでしまいます。


 誰の領地も踏まずに、無傷で通り抜けられる確率を求めてみましょう。『任意の土地から十分離れた土地にいる場合、その任意の土地踏む確率は25%』ということは、踏まない確率は75%です。3つとも踏まないとなると、その確率は0.75×0.75×0.75=0.42です。ただでさえバジリスクの60%即死効果さえも引き出せない私にとっては、42%の確率に賭けるのはあまりにも無謀というものです。


 それより、3人は喜び勇んでに向かっているのですから、あなたの領地踏んでもらうことに期待してみましょう。通行料の期待値が2000G×0.25=500Gなのですから、期待値としてはまずまずです。


 誰か一人が踏んでくれれば十分目標達成できる訳ですから、より実戦的に3人のうち少なくとも一人以上が踏んでくれる確率を求めてみましょう。100%から「3人ともあなたの領地踏まない確率」を引けば良いです。1-(0.75×0.75×0.75)=0.58と計算できました。58%、バジリスク程度には期待が持てるじゃあありませんか! さらに自分以外にも魔力達成者が出たとしても、自分はすでにに向かう最中な訳ですから、なかなか分の良い賭けになるのではないかなと思います。


 相手もスペルなどで回避しようとするので一般化は難しいのですが『自分の高額領地は、守りきれる場合には1周回あたり 通行料×相手の人数×0.2前後 の収益が見込める』といったところを覚えておくのがよいでしょうか。


まとめ

今回の考察で解ったこと(ダイス目が1~7の場合)
  1. 『任意の土地から十分離れた土地にいる場合、その任意の土地踏む確率は25%』
  2. 高額領地の7マス、6マス手前に止まるのはリスクが高い』
  3. 高額領地までの距離を5マス以下に詰められる場合は詰めたほうが良い』
  4. 移動スペル高額領地回避に使うと、通行料の2割強の利益がある』
  5. 『自分の高額領地は、守りきれる場合には1周回あたり 通行料×相手の人数×0.2前後 の収益が見込める』


 単なるスゴロクと違い、カルドセプトでは移動距離が様々な因子に影響されます。スペルプレイヤーの意志、分岐、祠効果ラウンド制限などなど。そういった性質上任意の土地に止まる確率を完全に求めることは難しいですが、ある程度の目安を示すことは出来たかと思います。この考察が私と同じく踏みを恐れるセプターの一助となれば幸いです。


 これでちょっとは枕を高くして眠れる……、かなあ? 踏む確率よりバジリスクに仕事させる方法を知りたい今日この頃です。


12月10日23時30分追記

 ぷちなんさんの日記『HW6/HW3で踏み回避』と大変なくらい内容が被った。死にたい。違うの! パクリじゃないの! 16bitsさんのアドスターから辿って初めて知ったの! ホントなの! 信じてくれえええー! 

16bits16bits2008/12/11 00:21どうも、はじめまして。
とても面白い考察だと思います。
通行料の期待値を意識する人はいますが、公式を作ろうとした人は見たことがありませんでした。
ぷちなんさんの記事とは上手く差別化が図られていて、興味深いです。
個人的な印象では、1~3はほぼ同意、4、5はもうちょっと少ない収支評価をしています。
実戦での相手のレベルにもよりますが、足が入っていないことは稀なので、そこまで期待はできないかなと。
事実、踏みやすいマップほどご丁寧にHWXが入りますから、尚更踏みにくくなるんですよね。

putcharputchar2008/12/11 00:41はい、どうもです。ニヤニヤ。
誤差の範囲内ですが、7マス目の踏み確率の数字が自分とは違いますね。
この「踏みやすい距離」を意識するとどこに拠点を作るかとか、踏み期待のガン上げといった踏ませる方のプレイングにも関わって、その細かいところに気を配るのがまた楽しかったりします。

M7_XLRM7_XLR2008/12/11 03:56確率の話が好きな者です。
私の計算も5マス目以降の確率で僅かですが差が出ていました(7マス目はぷちなんさんと同じ)。
個人的には、高額領地(特にLv.5)の場合は踏んだときの戦況変化が大きすぎて
「収入期待値」よりも「踏む確率」の方を重視してしまいますが、
1周あたり0.2掛けという値は目安として大変参考になりました。
宣伝みたいになってしまいますが、マス目と確率の関係は以前に表を作ったので紹介しておきます。
http://m7seiun.net/game/dice.pdf
セプト部日記では11/20から辿れます。

ジャコウ総督ジャコウ総督2008/12/11 05:29これは良い式だ!そして俺のようなアホにもわかりやすい!!
とりあえずは、そのマップの最大出目を知っとけということすね。
このデータ、役立たせていただきます。

YOSHI-00YOSHI-002008/12/11 19:34>16bitsさん
 はじめまして、ヨシと申します。カルドセプトセカンドの頃から重力制御を愛読させていただいております、正直大ファンです。キャー、憧れの16bitsさんと握手しちゃった! 頂いたアドスターは家宝にします。

>1~3はほぼ同意、4、5はもうちょっと少ない収支評価をしています。

 実は感覚としては私もそうです。あくまで素ダイス&ほぼ一本道という過程での考察ですので。おそらく踏む確率は2割を割り込むと思っているのですが「素ダイスじゃなければこうじゃね?」という根拠のないことを書くよりは、目安として使えるデータを示すべきかなと思いまして。ご指摘の移動スペルが踏む確率に与える影響に関しては、今後考察してみたいテーマです。ブックに平均何枚くらい移動スペルが入っているのかが解る妥当性の高いデータがあれば、形にできそうなんですが……。

 今後も私の考察をお読みになる機会があれば、ぜひまたご意見いただければと思います。

>ぷちなんさん
 本当に最初に見た時は血の気が引きました。「十分に離れているのならば、25% になります」のあたりの言い回しなんかもう……。寛容な方でよかった……。

 拠点を作る価値がある土地がどこか? というのは確かに問題ですよね。ジャンクション砦周りは踏みやすい(踏まれやすい)場所なのは解りますが、分岐付近の踏まれにくい土地と比べどの程度価値があるのでしょうか。この価値を定量化できると良いのですが、なかなか難しそうです。

>M7@XLRさん
 この表凄まじく参考になります! ぜひ利用させていただきます! 実は次の考察はダイス6、ダイス8のマップのケースも交えたものにしようと思っていたので。計算が大変億劫でしたが、一気に作業量が減りました。まるでジャンクション砦に止まっているターンでドローしたリコールのように使えるデータですね! 

>ジャコウ総督
 ダイス目は重要っすよー。ダイス10だと、フライがヘイストの平均ダイス目を上回りますからねー。

 今回はとにかく結論を簡単にするよう努めました。何故かって、下手にご立派な結論にしちゃうと俺が実戦中に思い出せなくなるからさ! 相手がガゼアス持ってるか否かすらたまに忘れるっつうに、そんな小難しいこと考えられるか!

 実際のところ、対戦中に計算できる限界は通行料×0.2くらいのシンプルな式だと思うわけです。

itisiro146itisiro1462008/12/17 22:45高額領地を踏む確率は、踏むか踏まないかなので1/2ですが、踏まなければ記憶に残らないため、夢のエンドはいつも「やっちまったああああ!!」なわけで・・・

YOSHI-00YOSHI-002008/12/18 01:30>itisiro146さん
 はじめましてー。
 そうなんですよねー、あの「印象の強さ」は物事の本質を見誤らせます。踏んだことばかり覚えてるんですよね……。俺もバジの即死が効かなかった場面でうなされます。早く目覚まし額で笛吹いてくれー!